Симплекс метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм. Сервис для решения задач по линейному программированию Основная теорема симплекс метода

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:
  1. Указать способ нахождения оптимального опорного решения
  2. Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения
  3. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:
  1. Привести задачу к каноническому виду
  2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)
  3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода
  4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается
  5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 26.1

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 6 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 6 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k — c k

  • C б = (с 1 , с 2 , ... , с m) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных
  • X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) — вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения
  • С к — коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу :

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле: .

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора ΔZ 1 = — 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ 3 = — 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5). (таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.

Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств

(2)

Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид

x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)

Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:

F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)

Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.

Алгоритм решения задачи следующий:

1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.

2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.

Таблица 1.

x n
базисные переменные Свободные члены в ограничениях Небазисные переменные
x 1 x 2 ... x l ...
x n+1 b 1 a 11 a 12 ... a 1l ... a 1n
x n+2 b 2 a 21 a 22 ... a 2l ... a 2n
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
x n+r b2 a r1 a r2 ... a rl ... a rn
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
x n+m b m a m1 a m2 ... a ml ... a mn
F(x) max F 0 -c 1 -c 2 ... -c 1 ... -c n

Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.

Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия

т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.

Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.

3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:

Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.

Остальные формулы легко записать с помощью .

Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).

4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.

5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.

Рис. 1. Правило прямоугольника

Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:

Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.

6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.

Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.

Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.

Пример 1. Решить задачу

max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}

Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.

Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда

Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.

Рис. 2. Графическое решение задачи

>> >> >> Симплекс-метод

Симплекс-метод

Решение любой можно найти симплексным методом . Прежде чем применять симплекс-метод, следует записать исходную задачу в форме основной задачи линейного программирования, если она не имеет такой формы записи.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать.

Пусть требуется найти максимальное значение функции

при условиях

Здесь и – заданные постоянные числа

Векторная форма данной задачи имеет следующий вид: найти максимум функции

при условиях

то по определению опорного плана является опорным планом данной задачи (последние компонент вектора Х равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис m- мерного пространства. Поэтому каждый из векторов а также могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть

Положим Так как векторы – единичные, то и а

Теорема 5

(признак оптимальности опорного плана). Опорный план задачи (22) – (24) является оптимальным, если для любого j

Теорема 6.

Если для некоторого j=k и среди чисел нет положительных , то целевая функция (22) задачи (22) – (24) не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 7.

Если опорный план Х задачи (22) – (24)невырожден и , но среди чисел есть положительные (не все ), то существует опорный план X" такой, что

Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.

Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл. 3.

В столбце С 6 этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса.

В столбце записывают положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы векторов представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.

В табл. 3 первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели (m+1)-й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора – значение

Значение Z j находится как скалярное произведение вектора на вектор

Значение равно скалярному произведению вектора P 0 на вектор :

После заполнения таблицы 3 исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы -й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев:

1) для j=m+1, (при ). Поэтому в данном случае числа для всех j от 1 до n ;

2) для некоторого j , и все соответствующие этому индексу величины

3) для некоторых индексов j , и для каждого такого j , по крайней мере, одно из чисел положительно.

В первом случае на основании признака оптимальности исходный опорный план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в третьем случае можно перейти от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Этот переход от одного опорного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве вектора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов имеющий индекс j , для которого . Пусть, например, и решено ввести в базис вектор

Для определения вектора, подлежащего исключению из базиса, находят для всех Пусть этот минимум достигается при i=r . Тогда из базиса исключают вектор , а число называют разрешающим элементом.

Столбец и строку, на пересечении которых находится разрешающий элемент, называют направляющими.

После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана–Гаусса. При этом можно показать, что положительные компоненты нового опорного плана вычисляются по формулам

(25)

а коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану, – по формулам

(26)

После вычисления и согласно формулам (25) и (26) их значения заносят в табл. 4. Элементы -й строки этой таблицы могут быть вычислены либо по формулам

(27)

(28)

либо на основании их определения.

Таблица 3

i Базис С б P 0 c 1 c 2 ... c r ... c m c m+1 ... c k ... c n
P 1 P 2 ... P r ... P m P m+1 ... P k ... P n
1 P 1 c 1 b 1 1 0 ... 0 ... 0 a 1m+1 ... a 1k ... a 1n
2 P 2 c 2 b 2 0 1 ... 0 ... 0 a 2m+1 ... a 2k ... a 2n
: : : : : : : : : : : : : : :
r P r c r b r 0 0 ... 1 ... 0 a rm+2 ... a rk ... a rn
: : : : : : : : : : : : : : :
m P m c m b m 0 0 ... 0 ... 1 a mm+1 ... a mk ... a mn
m+1 F m 0 0 ... 0 ... 0 Δ m+1 ... Δ k ... Δ n

Таблица 4

i Баз
ис 		С б P 0 c 1 c 2 ... c r ... c m c m+1 ... c k ... c n
P 1 P 2 ... P r ... P m P m+1 ... P k ... P n
1 P 1 c 1 b 1 1 0 ... a " 1r ... 0 a " 1m+1 ... 0 ... a " 1n
2 P 2 c 2 b 2 0 1 ... a " 2r ... 0 a " 2m+1 ... 0 ... a " 2n
: : : : : : : : : : : : : : :
r P r c r b r 0 0 ... a " rr ... 0 a " rm+2 ... 1 ... a " rn
: : : : : : : : : : : : : : :
m P m c m b m 0 0 ... a " mr ... 1 a " mm+1 ... 0 ... a " mn
m+1 F m 0 0 ... z " r -c r ... 0 z " m+1 -c m+1 ... 0 ... z " n -c n

Наличие двух способов нахождения элементов -й строки позволяет осуществлять контроль правильности проводимых вычислений.

Из формулы (27) следует, что при переходе от одного опорного плана к другому наиболее целесообразно ввести в базис вектор , имеющий индекс j , при котором максимальным по абсолютной величине является число . Однако с целью упрощения вычислительного процесса в дальнейшем будем вектор, вводимый в базис, определять, исходя из максимальной абсолютной величины отрицательных чисел . Если же таких чисел несколько, то в базис будем вводить вектор, имеющий такой же индекс, как и максимальное из чисел , определяемых данными числами

Итак, переход от одного опорного плана к другому сводится к переходу от одной симплекс-таблицы к другой. Элементы новой симплекс-таблицы можно вычислить как с помощью рекуррентных формул (25)-(28), так и по правилам, непосредственно вытекающим из них. Эти правила состоят в следующем.

В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю.

Элементы векторов и в строке новой симплекс-таблицы, в которой записан вектор, вводимый в базис, получают из элементов этой же строки исходной таблицы делением их на величину разрешающего элемента. В столбце в строке вводимого вектора проставляют величину , где k – индекс вводимого вектора.

Остальные элементы столбцов вектора и новой симплекс-таблицы вычисляют по правилу треугольника. Для вычисления какого-нибудь из этих элементов находят три числа:

1) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на месте искомого элемента новой симплекс-таблицы;

2) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на пересечении строки, в которой находится искомый элемент новой симплекс-таблицы, и столбца, соответствующего вектору, вводимому в базис;

3) число, стоящее в новой симплекс-таблице на пересечении столбца, в котором стоит искомый элемент, и строки вновь вводимого в базис вектора (как отмечено выше, эта строка получается из строки исходной симплекс-таблицы делением ее элементов на разрешающий элемент).

Эти три числа образуют своеобразный треугольник, две вершины которого соответствуют числам, находящимся в исходной симплекс-таблице, а третья – числу, находящемуся в новой симплекс-таблице. Для определения искомого элемента новой симплекс-таблицы из первого числа вычитают произведение второго и третьего.

После заполнения новой симплекс-таблицы просматривают элементы -й строки. Если все , то новый опорный план является оптимальным. Если же среди указанных чисел имеются отрицательные, то, используя описанную выше последовательность действий, находят новый опорный план. Этот процесс продолжают до тех пор, пока либо не получают оптимальный план задачи, либо не устанавливают ее неразрешимость.

При нахождении решения задачи линейного программирования мы предполагали, что эта задача имеет опорные планы и каждый такой план является невырожденным. Если же задача имеет вырожденные опорные планы, то на одной из итераций одна или несколько переменных опорного плана могут оказаться равными нулю. Таким образом, при переходе от одного опорного плана к другому значение функции может остаться прежним. Более того, возможен случай, когда функция сохраняет свое значение в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. В последнем случае обычно говорят, что произошло зацикливание. Однако при решении практических задач этот случай встречается очень редко, поэтому мы на нем останавливаться не будем.

Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно отрицательное число . Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел имеются отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом , а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора к положительным компонентам направляющего столбца.

5. По формулам (25) – (28) определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа , . Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

Пример 9.

Для изготовления различных изделий А , В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А , В и С , а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 5.

Таблица 5

Вид сырья

Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие

Общее количество сырья (кг)

Цена одного изделия (руб.)

Изделия А , В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск изделий А обозначим через x 1 , изделий В – через , изделий С – через . Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные должны удовлетворять следующей системе неравенств:

(29)

Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска x 1 изделий А , изделий В и изделий С составляет

По своему экономическому содержанию переменные могут принимать только лишь неотрицательные значения:

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (29) требуется найти такое, при котором функция (30) принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида. Например, – это неиспользуемое количество сырья I вида.

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х =(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 6), подсчитываем значения и проверяем исходный опорный план на оптимальность:

Для векторов базиса

Таблица 6

р 5

Как видно из таблицы 6, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому “плану”, при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптимальным.

Это видно и из 4-й строки табл. 6, так как в ней имеется три отрицательных числа: и Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции.

Так, число – 9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отрицательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р 3 . Следовательно, в базис введем вектор Р 3 . определяем вектор, подлежащий исключению из базиса. Для этого находим

Найдя число мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С , которое может быть изготовлено предприятием, равно т. е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор Р 5 подлежит исключению из базиса. Столбец вектора Р 3 к 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для II итерации (табл. 7).

Таблица 7

P 4

p 3

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в базис, т. е. строку, номер которой совпадает с номером направляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Элементы этой строки табл. 7 получаются из соответствующих элементов таблицы 6 делением их на разрешающий элемент (т. е. на 8). При этом в столбце С б записываем коэффициент , стоящий в столбце вводимого в базис вектора . Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Для определения остальных элементов табл. 7 применяем правило треугольника. Эти элементы могут быть вычислены и непосредственно по рекуррентным формулам.

Вычислим элементы табл. 7, стоящие в столбце вектора Р 0 . Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Для его вычисления находим три числа:

1) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора Р 0 и 1-й строки (360);

2) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора P 3 и 1-й строки (12);

3) число, стоящее в табл. 7 на пересечении столбца вектора Р 0 и 2-й строки (24).

Вычитая из первого числа произведение двух других, находим искомый элемент: 360 – 12 х 24=72; записываем его в 1-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Второй элемент столбца вектора Р 0 табл. 7 был уже вычислен ранее. Для вычисления третьего элемента столбца вектора Р 0 также находим три числа. Первое из них (180) находится на пересечении 3-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 6, второе (3) – на пересечении 3-й строки и столбца вектора P 3 табл. 6, третье (24) – на пересечении 2-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 8. Итак, указанный элемент есть 180 – 24 х 3=108. Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Значение F 0 в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами:

1) по формуле , т.е.

2) по правилу треугольника; в данном случае треугольник образован числами 0, -16, 24. Этот способ приводит к тому же результату: 0 - (-16) х 24=384.

При определении по правилу треугольника элементов столбца вектора Р 0 третье число, стоящее в нижней вершине треугольника, все время оставалось неизменным и менялись лишь первые два числа. Учтем это при нахождении элементов столбца вектора P 1 табл. 7. Для вычисления указанных элементов первые два числа берем из столбцов векторов P 1 и Р 3 табл. 6, а третье число – из табл. 7. Это число стоит на пересечении 2-й строки и столбца вектора P 1 последней таблицы. В результате получаем значения искомых элементов: 18 – 12 х (3/4) =9; 5 – 3 х (3/4) = 11/4.

Число в 4-й строке столбца вектора P 1 табл. 7 можно найти двумя способами:

1) по формуле Z 1 -С 1 =(C,P 1)-C 1 имеем

2) по правилу треугольника получим

Аналогично находим элементы столбца вектора P 2 .

Элементы столбца вектора Р 5 вычисляем по правилу треугольника. Однако построенные для определения этих элементов треугольники выглядят иначе.

При вычислении элемента 1-й строки указанного столбца получается треугольник, образованный числами 0,12 и 1/8. Следовательно, искомый элемент равен 0 – 12х (1/8) = -3/2. Элемент, стоящий в 3-й строке данного столбца, равен 0 - 3 х (1 /8) = -3/8.

По окончании расчета всех элементов табл. 7 в ней получены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы P 4 , P 3 , P 6 и значения и . Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план X =(0; 0; 24; 72; 0; 108). При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1 вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора Р 0 табл. 7. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели значительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным. Так, например, возьмем данные столбца вектора Р 2 . Число 1/2 во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С , если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и 3/2 в 1-й и 3-й строках вектора P 2 показывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия В , а число – 2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован выпуск одного изделия В , то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными словами, если включить в план производства продукции одно изделие В , то это потребует уменьшения выпуска изделия С на 1/2 ед. и потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и 3/2 кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и 3/2 выступают как бы новыми “нормами” затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл. 6, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С.

Такой же экономический смысл имеют и данные столбца вектора Р 1 табл. 7. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора Р 5 . Число 1/8 во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на 1/8 ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно 3/2 кг сырья I вида и 3/8 кг сырья III вида. Увеличение выпуска изделий С на 1/8 ед. приведет к росту выпуска продукции на 2 руб.

Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 7 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 7, поскольку в столбце вектора P 2 этой строки стоит отрицательное число – 2. Значит, в базис следует ввести вектор P 2 , т. е. в новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для , т. е. находим

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор Р 4 иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида. С учетом имеющихся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изделий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора P 2 и 1-я строка табл. 7 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл. 8).

Таблица 8

P 2

P 3

В табл. 8 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора Р 2 . Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 7 делением последних на разрешающий элемент (т.е. на 9). При этом в столбце С б данной строки записываем .

Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу треугольника вычисляем элементы остальных столбцов. В результате в табл. 8 получаем новый опорный план X =(0; 8; 20; 0; 0; 96) и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения и

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку, табл. 8. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и

Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 8 изделий В и 20 изделий С , является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб.

Оптимальным планом производства продукции не предусматривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска продукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости. Это видно из 4-й строки столбца вектора P 1 , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 руб.

Решение данного примера симплексным методом можно было бы проводить, используя лишь одну таблицу (табл. 9). В этой таблице последовательно записаны одна за другой все три итерации вычислительного процесса.

Таблица 9

р 5

P 4

p 3

P 2

p 3

Как видно из табл. 10, исходный опорный план не является оптимальным. Поэтому переходим к новому опорному плану. Это можно сделать, так как в столбцах векторов P 1 и p 5 , 4-я строка которых содержит отрицательные числа, имеются положительные элементы. Для перехода к новому опорному плану введем в базис вектор p 5 и исключим из базиса вектор p 4 . Составляем таблицу II итерации.

Таблица 11

Как видно из табл. 11, новый опорный план задачи не является оптимальным, так как в 4-й строке столбца вектора P 1 стоит отрицательное число -11/3. Поскольку в столбце этого вектора нет положительных элементов, данная задача не имеет оптимального плана.

Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:

Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.

Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.

Таблица 1.

базисные переменные Свободные члены в ограничениях Небазисные переменные
x 1 x 2 ... x l ... x n
x n+1 b 1 a 11 a 12 ... a 1l ... a 1n
x n+2 b 2 a 21 a 22 ... a 2l ... a 2n
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
x n+r b2 a r1 a r2 ... a rl ... a rn
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
x n+m b m a m1 a m2 ... a ml ... a mn
F(x) max F 0 -c 1 -c 2 ... -c 1 ... -c n

Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .

Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.

Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.

Для разрешения выполнения апплета на вашем компьютере надо сделать следующее - нажать кнопку Пуск>Панель управления>Программы>Java. В окне Java Control Panel выбираем вкладку Security (Безопасность) нажимаем кнопку Edit Site List, кнопку add и вставляем в свободное поле путь к этой страницы из адресной строки браузера. Далее нажимаем кнопки ОК, после этого перезагружаем компьютер.

Для запуска апплета нажмите на кнопку "Simplex". Если над этой строкой не видна кнопка "Simplex", то на компьютере не установлена Java.

    После нажатия на кнопку « Simplex » выводится первое окно для ввода числа переменных и числа ограничений задачи на симплекс-метод.

    После нажатия на кнопку « ok » выводится окно для ввода остальных данных задачи на симплекс-метод: режима отображения (десятичные дроби или обыкновенные), тип критерия задачи min или max , ввод коэффициентов целевой функции и коэффициентов системы ограничений со знаками « ≤ », « ≥ » или « = », ограничения вида х i ≥ 0 вводить не надо, их учитывает в своем алгоритме.

    После нажатия на кнопку «Решить» выводится окно с результатами решения задачи на . Окно состоит из двух частей, в верхней части находится текстовое поле, содержащее описание приведения исходной задачи к канонической форме, которая используется для составления первой симплекс-таблицы. В нижней части окна в панели со вкладками расположены симплекс-таблицы каждой итерации с небольшим текстовым полем внизу с указанием разрешающего столбца, разрешающей строки и другой информации, что делает программу обучающей. Во вкладке с оптимальной (последней) таблицей в текстовом поле приведено полученное оптимальное решение задачи.

Замеченные ошибки и комментарии по работе апплета присылайте на [email protected] или звоните 8 962 700 77 06, за что мы будем Вам очень благодарны.

Программа М-метод

Программа для решения транспортной задачи

Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.

Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом

1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").

Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:

Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами:
-система ограничений должна быть системой уравнений с базисом;
-свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.

Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод. Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0), т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.

итерация 0

БП

Решение Отношение

Для улучшения решения перейдем к следующей итерации, получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации это столбец x 2 (коэффициент -6).

Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).

Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации переменная x 2 заменит в базисе s 3 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.

Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).

1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:

2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0 , цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.

3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.

4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 2 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.

Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:

Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).

Например для z -строки имеем:

Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0)
-(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120)
=Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120) .

Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.

итерация 1

Решение Отношение

Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.

Итерация 2

Решение Отношение

Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.

Итерация 3

Решение Отношение

В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.

Симплекс-метод, решение задачи с искусственным базисом

2) Решим задачу с искусственным базисом (хотя бы один знак неравенств-ограничений " ≥ " или " = ").

Запишем задачу в канонической форме (в виде системы уравнений, что требует симплекс-метод), для этого введем две переменные х 3 ≥ 0 и х 4 ≥ 0 получим:

Система ограничений предлагает только одну допустимую базисную переменную x 4 , только она входит только в одно уравнение в третье с коэффициентом 1, поэтому в первое и второе уравнения добавляем искусственные переменные R 1 ≥ 0 и R 2 ≥ 0 Чтобы можно было примененить симплекс-метод система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т.е. в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1, которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это R 1 , R 2 и x 4 . Получили, так называемую, М-задачу:

Данная система является системой с базисом, в которой R 1 , R 2 и x 4 базисные переменные, а x 1 , x 2 и x 3 свободные переменные, свободние члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:

итерация 0

Решение Отношение
-16

В таблицу для задач с искусственным базисом добавлена строка «Оценка». Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки "Оценка" определяется разрешающий столбец пока она есть в таблице. Когда строка "Оценка" выйдет из таблицы (в базисе нет искусственных переменных) разрешающий столбец будет определяться по z-строке, как и в задаче с начальным базисом. В данной таблице разрешающий столбец х 2 , он выбран по наибольшей по модулю отрицательной оценке (-7). Разрешающая строка R 2 выбрана по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, как и в задаче без искусственных переменных. Это значит, что на следующей итерации переменная х 2 из свободной перейдет в базисную, а переменная R 2 из базисной – в свободную. Запишем следующую симплекс-таблицу:

Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка R 1 , R 1 выходит из базиса, x 1 входит в базис. После этого в базисе не остается искусственных переменных, поэтому строки «Оценка» в следующей таблице нет:

итерация 2

Решение Отношение

Далее разрешающий столбец выбирается по z-строке. В z-строке все коэффициенты неотрицательны кроме коэффициента при искусственной переменной R 1 , который не влияет на оптимальность, когда искусственные переменные вышли из базиса. Следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 6/5; x 2 = 3/5; z max = 72/5.

Особые случаи применения симплекс-метода

1) Когда прямая (если рассматривается двухмерная задача линейного программирования, а в общем случае гиперплоскость), представляющая целевую функцию параллельна прямой (гиперплоскости), соответствующей одному из неравенств-ограничений (которое в точке оптимума выполняется, как точное равенство) целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение на некотором множестве точек границы области допустимых решений. Эти решения называются альтернативными оптимальными решениями . Наличие альтернативных решений можно определить по оптимальной симплекс-таблице. Если в z-строке оптимальной таблицы есть нулевые коэффициенты небазисных переменных, то есть альтернативные решения.

2) Если в разрешающем столбце симплекс-таблицы все коэффициенты меньше или равны нуль, то нельзя выбрать разрешающую строку, в этом случае решение неограничено.

3) Если ограничения задачи линейного программирования несовместны (т.е. они не могут выполняться одновременно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может возникнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип " ≤ " с неотрицательными правыми частями, т.к. в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений использются искусственные переменные. Если задача имеет решение, то в оптимальной таблице в базисе нет искусственных переменных (R i). Если они там есть, то задача не имеет решений.



Поделиться: